Geometri Euclid dan Non-Euclid

Ada beberapa definisi dari garis sejajar menurut para ahli matematika.

a.  Euclid, Jika dua garis dipotong oleh sebuah garis melintang sedemikian sehingga jumlah  dua sudut dalam dari satu sisi kurang dari 180⁰, maka garis-garis tersebut akan berpotong pada sisi garis melintang. 

Dari defenisi tersebut diperoleh akibat :

1.    Dua garis yang tegak lurus pada garis yang sama adalah sejajar

2.    Hanya ada satu garis yang tegak lurus dengan garis yang diberikan melalui titik diluar garis tersebut.

3.    Terdapat satu dan hanya satu garis yang sejajar dengan garis yang diberikan dan melalui titik diluar garis tersebut

 b. Lobachevskian, terdapat paling sedikit dua garis sejajar yang melalui sebuah titik yang tidak terletak pada garis tersebut dengan garis yang diberikan

Dari defenisi tersebut diperoleh akibat :

1.    Tidak ada dua garis sejajar yang berjarak sama dimana-mana.

2.    Terdapat tak berhingga banyaknya garis sejajar dengan garis yang diberikan dan melalui titik yang tidak terletak pada garis tersebut.

 c. Riemann, Seluruh garis lurus berpotongan, sehingga tidak ada garis yang saling berpotongan

Beberapa representasi geomteri Riemann

Misalkan S adalah sebuah bola, maka:

1.    Titik adalah titik pada bola S

2.    Garis adalah lingkaran terbesar dari bola S

3.    Bidang adalah bola S

4.    Segmen adalah busur dari lingkaran terbesar

5.    Jarak antara dua titik adalah panjang busur terpendek dari lingkaran terbesar S yang menghubungkan dua titik.

6.    Sudut (dibentuk oleh dua garis) yaitu sudut yang dibentuk oleh dua lingkaran terbesar

Tabel 1. Perbandingan antara Geometri Euclid dan Non Euclid

Tinjauan	Euclid	Lobachevskian	Riemann	Kriteria
Dua garis yang berbeda berpotongan di	Paling banyak satu	Paling banyak satu	Satu (single Elliptic), dua (double elliptic)	Titik
Diberikakan garis L dan titik P yang tidak pada L, maka terdapat	Satu dan hanya satu garis	Paling sedikit dua	Tidak ada garis	Yang melalui P dan sejajar dengan L
Garis- garis sejajar	Berjarak sama dimana-mana	Tidak pernah berjarak sama	Tidak ada
Dua garis yang berbeda dan tegak lurus pada garis yang sama	Sejajar	Sejajar	Berpotongan

  Sumber : (Prenowitz, W. Jordan, M. 1965. Basic Consepts of Geometri)